Alain et Benjamin pratiquent assidûment le tennis. On estime que la probabilité qu’Alain gagne une rencontre est de 0,6. Ils décident de jouer trois matchs dans l’année (les résultats des matchs sont indépendants les uns des autres) et de faire une cagnotte pour s’offrir un repas en fin d’année. A la fin de chaque match, le perdant versera $20€$.
Benjamin s’interroge sur sa dépense éventuelle en fin d’année.
On note $X$ la variable aléatoire correspondant au nombre de matchs gagnés par Benjamin et $D$ la variable aléatoire correspondant à la dépense de Benjamin.

$a.$ Quelles sont les valeurs possibles de $X$ ? Exprimer $D$ en fonction de $X$ et en déduire les valeurs possibles de $D$.

$b.$ Démontrer que la probabilité que Benjamin dépense $40€$ est de $0,432$.

$c.$ Calculer l’espérance de dépense en fin d’année de Benjamin.