Alain et Benjamin pratiquent assidûment le tennis. On estime que la probabilité qu’Alain gagne une rencontre est $0,6$. Ils décident de jouer trois matchs dans l’année $($les résultats des matchs sont indépendants les uns des autres$)$ et de faire une cagnotte pour s’offrir un repas en fin d’année. A la fin de chaque match, le perdant versera $20€$.
Benjamin s’interroge sur sa dépense éventuelle en fin d’année.
On note $X$ la variable aléatoire correspondant au nombre de matchs gagnés par Benjamin et $D$ la variable aléatoire correspondant à la dépense de Benjamin.

$a.$ Quelles sont les valeurs possibles de $X$ $?$ Exprimer $D$ en fonction de $X$ et en déduire les valeurs possibles de $D$.

$b.$ Démontrer que la probabilité que Benjamin dépense $40€$ est $0,432$.

$c.$ Calculer l’espérance de dépense en fin d’année de Benjamin.